K. Seitz, F. Wild, B. Heck
Geodätisches Institut, Universität Karlsruhe (TH), Englerstr. 7, D-76128 Karlsruhe, seitz@gik.uni-karlsruhe.de
Topographische Reduktionen in der Physikalischen Geodäsie
Theorie von Stokes
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Zielsetzung: Bestimmung des Geoids
Randwertproblem (RWP) nach Stokes:
• Randfläche = (Co-) Geoid
→ Topographische (+ isostatische) Reduktionen
Theorie von Molodensky
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Zielsetzung: Bestimmung der Erdoberfläche S und des Schwerepotentials W im Außenraum
Randwertproblem nach Molodensky:
• Prinzipiell sind keine topographischen Reduktionen erforderlich
• Werden zur Glättung eingesetzt
→ RTM (Residual Terrain Modelling)
→ RRT (Remove-Restore Technique)
Approximation der (residualen) Topographie durch homogenes vertikales Prisma
• Koordinatensystem ist das Kantensystem des Quaders
• Transformation des Effekts des vertikalen Prismas auf δg und M in das topozentrische Horizontsystem des Berechnungspunktes P
• Abstand zwischen dem Berechnungspunkt P und dem variablen Integrationspunkt Q:
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Einfluss auf das Potential in P
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Einfluss auf die Schwere in P
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Einfluss auf die zweite radiale Ableitung in P
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Für das vertikale Prisma mit konstanter Dichte existieren analytische Lösungen bezüglich des Potentials, seiner ersten Ableitungen und der Elemente des Marussi-Tensors
• Hoher numerischer Aufwand
• Rechenzeitintensive Auswertung der Funktionen atan und ln
Approximation der (residualen) Topographie durch Tesseroid
• Begrenzt durch geographische Gitterlinien und Flächen konstanter Höhe
• Unterteilung der Oberfläche des Referenzellipsoids bezüglich der geographischen Gitterlinien
• Sphärische Approximation des Tesseroids
• Abstand zwischen dem Berechnungspunkt P und dem variablen Integrationspunkt Q:
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Einfluss auf das Potential in P
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Einfluss auf die Schwere in P
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Einfluss auf die zweite radiale Ableitung in P
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Es existieren keine elementaren Lösungen: Elliptische Integrale !
• Approximative Lösung durch Taylorreihenentwicklung des Integranden
• Taylorpunkt = geometrischer Mittelpunkt des Tesseroids
• Reihenentwicklung erster Ordnung → entspricht der Approximation durch eine Punktmasse
• Terme zweiter Ordnung entfallen auf Grund der Symmetrie, falls der Taylorpunkt im Mittelpunkt des Tesseroids gewählt wird
• In unserer Theorie dritter Ordnung verbleiben vier Koeffizienten
→ Einfache Handhabung, starke Reduzierung der erforderlichen Rechenzeit
Approximationsfehler des Potentials, seiner ersten und zweiten radialen Ableitung
Dimension des Tesseroids: 5’ x 5’ x 2 km
Berechnungspunkt P(r,φ,λ) am Pol
r = R + h; h(V) = h(g*z) = 2 km; h(Mrr) = 260 km
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Vergleich der Rechenzeit Tesseroid versus Punktmasse versus Prisma
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• Potential und seine ersten und zweiten Ableitungen
• Berechnet mit dem globalen DGM JGP95E (5’ x 5’)
→ Die Rechenzeit reduziert sich um das zehnfache, wenn Tesseroide an Stelle von Prismen verwendet werden