Ellipsoidische und topographische Effekte im geodätischen Randwertproblem
Die Aufgabe, das Schwerepotential W der Erde sowie die Geometrie der physischen Erdoberfläche S (Randfläche) aus Observablen L zu bestimmen, wird als Geodätisches Randwertproblem (GRWP) bezeichnet. Die vorgelegte Arbeit befaßt sich mit dem skalar freien und dem fixen gravimetrischen Randwertproblem. Beim skalar freien GRWP wird vorausgesetzt, daß die horizontalen Koordinaten der Randpunkte P, welche auf der Randfläche S liegen, bekannt sind. Der Zusammenhang zwischen den Unbekannten W, S und den Observablen L wird durch Randbedingungen hergestellt, welche im allgemeinen von nichtlinearer Natur sind. Analytische und numerische Aspekte machen eine Linearisierung der Randbedingungen notwendig. Hierzu müssen für die Unbekannten geeignete Näherungen eingeführt werden. Das Schwerepotential wird dabei durch das Normalschwerepotential w angenähert, welches durch ein rotationssymmetrisches Somigliana-Pizzetti-Feld oder eine abgebrochene Kugelfunktionsentwicklung unter Hinzunahme des Zentrifugalpotentials repräsentiert werden kann. Als Näherung für die Randfläche S wird das Telluroid s eingeführt. Die nichtlinearen Terme in der Randbedingung nehmen Maximalwerte von +- 200 10-8 ms-2 beim skalar freien und +- 40 10-8 ms-2 beim fixen gravimetrischen Randwertproblem an. Bei Verwendung eines Somigliana-Pizzetti-Feldes (z.B. GRS80) zur Modellierung des Normalschwerefeldes bewirken die nichtlinearen Terme, daß die Äquipotentialflächen der Lösung für das Störpotential in der Umgebung der Erdoberfläche einen vertikalen Versatz von bis zu 4 mm erfahren. Wird der gravitative Anteil am Normalschwerefeld durch eine abgebrochene Kugelfunktionsentwicklung (z.B. bis Grad und Ordnung Nv=20) dargestellt, so kann dieser Effekt auf 2 mm abgesenkt werden. Deshalb dürfen die nichtlinearen Terme in den Randbedingungen im weiteren Verlauf der Arbeit vernachlässigt werden.
Die reduzierte Randbedingung basiert nun auf einem linearen Funktional D{dw} des Störpotentials dw=W-w, das durch Anwendung des Auswerteoperators Es auf das Telluroid s bezogen ist. Die Koeffizienten des Differentialoperators D sind Funktionale des normalen Schwerepotentials w und können nach Einführung der Näherung wa für w einer Reihenentwicklung unterzogen werden. Zur Darstellung von wa wird ein rotationssymmetrisches Potentialmodell benutzt, das neben dem Zentrifugalpotential den isotropen Term uv/r und die zu den zonalen Kugelfunktionskoeffizienten J2 und J4 proportionalen gravitativen Anteile enthält. Durch die Hinzunahme des Koeffizienten J4 wird für die analytische Darstellung des Differentialoperators D eine Approximation zweiter Ordnung erreicht. Studien haben deutlich zum Ausdruck gebracht, daß der Fehler bei isotroper Approximation der Randbedingung ein Vielfaches der Meßgenauigkeit absoluter und relativer Schweremessungen annimmt und auch die Größe der nichtlinearen Terme um den Faktor 5-10 übertrifft. Eine Vernachlässigung der ellipsoidischen Terme, die bei der isotropen Approximation vorgenommen wird, ist somit nicht zulässig. Falls ein Somigliana-Pizzetti-Feld als Normalfeld benutzt wird, führt die Approximation erster Ordnung zu Fehlern in der linearen Randbedingung von maximal +- 0.5 10-8 ms-2. Die Hinzunahme der ellipsoidischen Terme zweiter Ordnung durch den Koeffizienten J4 setzt einen qualitativen Schlußpunkt hinter die analytische Approximation des Differentialoperators.
Um das GRWP durch eine harmonische Analyse lösen zu können, müssen die Randbedingungen auf eine rotationssymmetrische Hilfsfläche bezogen werden. Als Hilfsflächen werden eine Sphäre und die Oberfläche eines Rotationsellipsoids eingeführt. Die modifizierte Vorgehensweise bei der harmonischen Analyse führt auch im Falle der ellipsoidischen Hilfsfläche direkt zum gesuchten sphärischen Spektrum, den Kugelfunktionskoeffizienten zur Darstellung des Störpotentials.
Die analytische Fortsetzung der Randbedingungen wird durch einen formalen Tayloransatz für den Auswerteoperator Es realisiert. Dabei wird auch die optimale Wahl des Taylorpunktes diskutiert, welcher auf der Hilfsfläche (Sphäre bzw. Ellipsoidoberfläche) oder am Telluroid plaziert werden kann. Die Ordnung der Taylorreihenentwicklung für den Auswerteoperator wird dabei auf das angestrebte absolute Fehlerniveau von 10-8 ms-2 abgestimmt. Somit wird für die Randbedingung eine Darstellung erreicht, bei der die analytische Seite aus einem isotropen Term und sogenannten ellipsoidischen und topographischen Anteilen zusammengesetzt ist. Der isotrope Term ist dabei auf die Hilfsfläche bezogen. Die ellipsoidischen und topographischen Anteile sind durch die Anisotropie des normalen Schwerepotentials und die Differenz zwischen der Randfläche und der Hilfsfläche verursacht. Werden die ellipsoidischen und topographischen Anteile als Reduktionen an den ursprünglichen Randwerten angebracht, so resultiert ein sphärisches Randwertproblem auf der Kugeloberfläche bzw. ein quasi-isotropes Randwertproblem mit ellipsoidischer Randfläche. Die Extremwerte der gesamten ellipsoidischen und topographischen Anteile in der linearen Randbedingung, die analytisch zu modellieren sind, können von +- 100 10-5 ms-2 bei der analytischen Fortsetzung auf eine Sphäre auf +- 20 10-5 ms-2 gesenkt werden, falls der Randoperator auf die Ellipsoidoberfläche fortgesetzt wird.
Da die Reduktionsterme selbst vom Störpotential abhängig sind, ist eine iterative Vorgehensweise erforderlich. In numerischen Studien werden das Konvergenzverhalten dieses iterativen Verfahrens und der Effekt der Approximation auf das zu lösende Störpotential untersucht.