Analyse und Optimierung geodätischer Messanordnungen unter besonderer Berücksichtigung des Intervallansatzes
Die vorgelegte Arbeit stellt ein alternatives Konzept zum Umgang mit Unsicherheit vor, die durch Restsystematiken bedingt ist. Ausgangspunkt für die Untersuchungen ist eine Unterteilung der Gesamtunsicherheit geodätischer Messungen in zwei Hauptbeiträge: Stochastizität und Impräzision. Stochastizität beschreibt die zufällige Variabilität der Messwerte. Impräzision wird durch unbekannte systematische Abweichungen zwischen Modell und Daten hervorgerufen. Das entwickelte Konzept umfasst die Bestimmung von Intervallen als Impräzisionsmaße für Messungen, die Berechnung und Minimierung mehrdimensionaler Impräzisionsmaße für geschätzte Parametergruppen sowie deren Kombination mit gängigen stochastischen Kenngrößen zur erweiterten Parameterunsicherheit.
Der Ansatz ergänzt und erweitert somit die rein stochastische Beschreibung. Er liefert durch eine getrennte Betrachtung beider Komponenten realistischere Unsicherheitsmaße und bildet das Fundament für eine aussagekräftige Interpretation der Ergebnisse der geodätischen Datenanalyse. In der Dissertation werden die mathematischen Zusammenhänge exemplarisch für die Netzausgleichung dargestellt. Sie können aber direkt auf alle anderen Problemstellungen der Datenanalyse übertragen werden wie beispielsweise die Ingenieurgeodäsie, den Bereich der Kalibrierung geodätischer Messmittel und der Qualitätssicherung sowie die Auswertung von GPS-Messungen. Inhaltlich ist die Arbeit in drei Themenkomplexe gegliedert, die die Bereiche Messung, Auswertung und Analyse geodätischer Netze und Optimierung geodätischer Messanordnungen umfassen.
Im ersten Themenbereich wird aufgezeigt, wie durch eine Sensitivitätsanalyse des Aufbereitungsprozesses der originären Messungen Intervalle als Impräzisionsmaße für die korrigierte Messung bestimmt werden können. Die Modellierung der Unsicherheit der einzelnen Eingangsgrößen des Aufbereitungsprozesses durch Intervalle lässt sich beispielsweise mit mangelndem Wissen um ihre stochastischen Eigenschaften oder mangelnder Repräsentativität der Größen motivieren. Ebenso kann das Interesse an einer Betrachtung von Rundungsfehlern oder maximalen Effekten (worst case) im Vordergrund stehen. Die so bestimmten Impräzisionsintervalle der Eingangsgrößen werden auf die korrigierten Messungen übertragen, die sich nach Anwendung von Mess- und Auswertemethoden oder Korrektionen aus den originären Messwerten ergeben.
Diese Vorgehensweise wird eingehend am Beispiel terrestrischer Messungen wie Richtungen, Strecken und Zenitdistanzen veranschaulicht. Von zentraler Bedeutung für das Arbeiten mit Intervallen als Impräzisionsmaße sind Faustformeln. Sie bringen die Abhängigkeiten der Intervallradien von der Netzgeometrie, von den angewandten Mess- und Auswertemethoden sowie vom verwendeten Instrumentarium in einen klar überschaubaren Zusammenhang.
Ein wichtiger Unterschied von Stochastizität und Impräzision zeigt sich bei der Unsicherheitsfortpflanzung. Die Verwendung von Intervallen impliziert ein lineares Fortpflanzungsgesetz der Impräzision. So kann diese durch Differenzbildung reduziert werden, jedoch nicht durch Mehrfachmessungen. Beim bekannten Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz wird die Unsicherheit hingegen quadratisch fortgepflanzt, wodurch zu optimistische Unsicherheitsmaße für die Ergebnisse erzielt werden können, insbesondere bei Mehrfachmessungen.
Der zweite Themenkomplex befasst sich mit der Übertragung der Impräzision auf die nach der Methode der kleinsten Quadrate geschätzten Punktkoordinaten geodätischer Netze und mit einer Beschreibung der Impräzision der Punktpositionen. Hierbei wird das Konzept der Intervallboxen als mehrdimensionale Impräzisionsmaße für Punktpositionen durch Zonotope erweitert und verallgemeinert. Die mathematischen Eigenschaften dieser speziellen konvexen Polyeder werden anhand zwei- und dreidimensionaler Beispielnetze erläutert.
Abschließend werden die Unsicherheitsmaße der Stochastizität und Impräzision, die getrennt von den Messungen auf die Punktkoordinaten übertragen wurden, zu einem Maß kombiniert. Mit Methoden der Fuzzy-Theorie oder durch die Überlagerung von Konfidenzellipsen und Zonotopen im Sinne der Minkowski-Summe werden erweiterte Punktunsicherheitsbereiche beschrieben. Diese repräsentieren die Gesamtunsicherheit der Punktpositionen adäquat, da die unterschiedlichen Charakteristika beider Komponenten erhalten bleiben. Die erweiterten Maße bilden einen Ausgangspunkt für die realitätsnahe Interpretation der Ergebnisse.
Alternativ zur Verwendung von Zonotopen wird ein Konzept von Ellipsoiden als Ersatzformen entwickelt. Dieses basiert auf Löwner-Ellipsoiden oder umschließenden Ellipsoiden und ist besonders dann geeignet, wenn die Zonotope aufwändig zu berechnen sind, d.h. wenn im Netz viele Beobachtungen vorkommen.
Ein dritter Themenbereich geht auf die Optimierung geodätischer Messanordnungen ein. Hierbei werden drei neue Aspekte aufgezeigt. Erstens werden anhand verschiedener Netzbeispiele Fragestellungen der klassischen Netzoptimierung nach optimaler Netzkonfiguration, Gewichtung und Datumswahl für die Kenngrößen der Impräzision beantwortet. Für das Zero Order Design liefert ebenfalls das innere Datum minimale Werte für die Impräzision. Bei einer Variation der Netzgeometrie (First Order Design) verhalten sich spektralen Kenngrößen von Impräzision und Stochastizität ähnlich.
Zweitens werden Lösungsansätze für das Intervalldesign vorgestellt. Im Intervalldesign wird untersucht, wie durch eine geschickte Wahl der Mess- und Auswertemethoden, der Sensoren und der Korrektionsmodelle Werte für die Impräzision der geschätzten Koordinaten erhalten werden, die kleiner als Maximalvorgaben sind. Hierfür wird ein zweistufiges Lösungskonzept vorgestellt und exemplarisch für verschiedene Konfigurationen getestet. Neben der Garantie oberer Schranken für die Impräzision kann versucht werden, die Impräzision so zu reduzieren, dass ihr Wert vernachlässigbar klein wird. Für die meisten Netzbeispiele wurde gezeigt, dass die Impräzision jedoch nicht vernachlässigbar ist und somit beide Komponenten der Unsicherheit betrachtet werden müssen.
Drittens werden Ansätze und Beispiele zur gemeinsamen Optimierung klassischer Zielgrößen wie Netzgenauigkeit und Zuverlässigkeit mit den neuen Zielgrößen der Impräzision mittels Verfahren der Vektoroptimierung vorgestellt. Hier sind weitere Untersuchungen wichtig, um die Reaktionsmuster der einzelnen Komponenten und ihr Zusammenspiel besser zu verstehen.