Intervallmathematische Behandlung endlicher Unschärfen linearer Ausgleichungsmodelle
Das Streuverhalten von Meßwerten kann in der Regel durch Angabe minimal bzw maximal möglicher Werte in Form von Intervallen abgeschätzt werden. Da Meßwerte gewöhnlich mit Hilfe der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate weiterverarbeitet werden, kann man die Frage stellen, welche Konsequenz die Streuung von Meßwerten für die zu berechnenden Größen (z.B. Koordinaten) hat. Die Antwort kann nicht mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes gegeben werden, da es sich um eine rein funktionale Betrachtung handelt. Es handelt sich dabei vielmehr um die Bestimmung des Wertebereiches einer Funktion (z.B. MatrixVektorProdukt zur Berechnung des Parametervektors) bei gegebenem Definitionsbereich (Meßwertintervalle). Diese Wertebereichsbestimmung kann mit Methoden der Intervallrechnung kompakt und deshalb effizient durchgeführt werden. Es zeigt sich, daß man die Betrachtung in zwei Teile aufgliedern kann: die Betrachtung der Intervallmitten (gemessene Werte) liefert das selbe Ergebnis wie eine Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate, die Betrachtung der Intervallradien (Maximalwerte der Streuung) ist von der Betrachtung der Mitten unbeeinflußt. Die berechneten Ergebnisintervalle können funktional als Beschreibung des schlimmstmöglichen Falles, statistisch dagegen nicht interpretiert werden. Das heißt, daß die Ergebnisse einer Ausgleichung wesentlich stärker streuen können als ihr mittlerer Fehler anzeigt. Es wird gezeigt, daß die Ergebnisintervalle nicht durch Anwendung der Gleichverteilung erzeugt werden können. Ein Analogie zur Theorie unscharfer Zahlen (fuzzy numbers) wird aufgezeigt.
Nimmt man an, daß ein Meßwertintervall den wahren Wert der gesuchten Größe enthält, so schränkt dies die Menge der möglichen Lösungen (Restriktionsmenge) ein. Durch Schnittmengenbildung wird gezeigt, daß die Ergebnismenge der Wertebereichsbestimmung eine Obermenge der Restriktionsmenge ist. Die Restriktionsmenge ist unabhängig vom gewählten Schätzverfahren, d.h., sie ergibt sich als zwingende Konsequenz aus der Festlegung von Intervallen für Beobachtungswerte.
Ebenso wie die Meßwerte ist auch das stochastische Modell mit Unsicherheiten behaftet, da die eingeführten Varianzen bzw. Kovarianzen in der Regel empirisch gewonnen werden. Zur Bearbeitung der Problematik werden die vom stochastischen Modell abhängigen Größen in eine für die Intervallrechnung geeignete Darstellung gebracht, mit der dann ebenfalls eine Wertebereichsbetrachtung durchgeführt wird.
Die Festlegung der Radien für die Meßwertintervalle erfolgt ebenfalls rein empirisch. Deshalb ist die Frage nach dem Verhalten der Wertebereichsbestimmung bei (geringfügig) anderen Intervallradien zulässig. Zur effizienten Beantwortung dieser Frage können Mengen von Intervallen als neue algebraische Größen definiert werden (Intervalle zweiter Stufe), die die gleichzeitige Wertebereichsbestimmung aller in ihr enthaltenen Intervalle mit Hilfe einer verall gemeinerten Intervallarithmetik erlauben. Als Ergebnis erhält man die Aussage, daß sich die prozentuale Unsicherheit der Intervallradien direkt auf die Radien der Ergebnisintervalle überträgt.